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2017年北京市高考数学试卷（文科）
一、选择题 1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣2或x＞2}，则∁UA=（）
A．（﹣2，2）
B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
2．（5分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，1）
B．（﹣∞，﹣1）
C．（1，+∞）
D．（﹣1，+∞）
3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）
A．2 B． C． D． 4．（5分）若x，y满足，则x+2y的最大值为（）
A．1 B．3 C．5 D．9 5．（5分）已知函数f（x）=3x﹣（）x，则f（x）（）
A．是偶函数，且在R上是增函数 B．是奇函数，且在R上是增函数 C．是偶函数，且在R上是减函数 D．是奇函数，且在R上是减函数 6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）
A．60 B．30 C．20 D．10 7．（5分）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是•＜0”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（）
（参考数据：lg3≈0.48）
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093 二、填空题 9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则sinβ= ． 10．（5分）若双曲线x2﹣=1的离心率为，则实数m= ． 11．（5分）已知x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2的取值范围是 ． 12．（5分）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则•的最大值为 ． 13．（5分）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为 ． 14．（5分）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
（i）男学生人数多于女学生人数；
（ii）女学生人数多于教师人数；
（iii）教师人数的两倍多于男学生人数． ①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为 ． ②该小组人数的最小值为 ． 解答题 15．（13分）已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5． （Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1． 16．（13分）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx． （I）求f（x）的最小正周期；
（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣． 17．（13分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；
（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例． 18．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点． （1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积． 19．（14分）已知椭圆C的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN的面积之比为4：5． 20．（13分）已知函数f（x）=excosx﹣x． （1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值． 2017年北京市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析 一、选择题 1．（5分）（2017•北京）已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣2或x＞2}，则∁UA=（）
A．（﹣2，2）
B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
【考点】1F：补集及其运算．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题；
37 ：集合思想；
5J ：集合． 【分析】根据已知中集合A和U，结合补集的定义，可得答案． 【解答】解：∵集合A={x|x＜﹣2或x＞2}=（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），全集U=R， ∴∁UA=[﹣2，2]， 故选：C 【点评】本题考查的知识点是集合的补集及其运算，难度不大，属于基础题． 2．（5分）（2017•北京）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，1）
B．（﹣∞，﹣1）
C．（1，+∞）
D．（﹣1，+∞）
【考点】A1：虚数单位i及其性质．菁优网版权所有 【专题】35 ：转化思想；
59 ：不等式的解法及应用；
5N ：数系的扩充和复数． 【分析】复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，可得，解得a范围． 【解答】解：复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限， ∴，解得a＜﹣1． 则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）． 故选：B． 【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．（5分）（2017•北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）
A．2 B． C． D． 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】5K ：算法和程序框图． 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2， 当k=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S=， 当k=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S=， 当k=3时，不满足进行循环的条件， 故输出结果为：， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答． 4．（5分）（2017•北京）若x，y满足，则x+2y的最大值为（）
A．1 B．3 C．5 D．9 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题；
31 ：数形结合；
35 ：转化思想；
5T ：不等式． 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可． 【解答】解：x，y满足的可行域如图：
由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由，可得A（3，3）， 目标函数的最大值为：3+2×3=9． 故选：D． 【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键． 5．（5分）（2017•北京）已知函数f（x）=3x﹣（）x，则f（x）（）
A．是偶函数，且在R上是增函数 B．是奇函数，且在R上是增函数 C．是偶函数，且在R上是减函数 D．是奇函数，且在R上是减函数 【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．菁优网版权所有 【专题】2A ：探究型；
4O：定义法；
51 ：函数的性质及应用． 【分析】由已知得f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，由函数y=3x为增函数，y=（）x为减函数，结合“增”﹣“减”=“增”可得答案． 【解答】解：f（x）=3x﹣（）x=3x﹣3﹣x， ∴f（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣f（x）， 即函数f（x）为奇函数， 又由函数y=3x为增函数，y=（）x为减函数， 故函数f（x）=3x﹣（）x为增函数， 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题． 6．（5分）（2017•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）
A．60 B．30 C．20 D．10 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】31 ：数形结合；
35 ：转化思想；
5F ：空间位置关系与距离． 【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥，如图所示． 【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥， 该三棱锥的体积==10． 故选：D． 【点评】本题考查了三棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7．（5分）（2017•北京）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是•＜0”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有 【专题】35 ：转化思想；
5A ：平面向量及应用；
5L ：简易逻辑． 【分析】，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立．即可判断出结论． 【解答】解：，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0． 反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立． ∴，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是•＜0”的充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 8．（5分）（2017•北京）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（）
（参考数据：lg3≈0.48）
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093 【考点】4G：指数式与对数式的互化．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题． 【分析】根据对数的性质：T=，可得：3=10lg3≈100.48，代入M将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果． 【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080， 根据对数性质有：3=10lg3≈100.48， ∴M≈3361≈（100.48）361≈10173， ∴≈=1093， 故本题选：D． 【点评】本题解题关键是将一个给定正数T写成指数形式：T=，考查指数形式与对数形式的互化，属于简单题． 二、填空题 9．（5分）（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则sinβ=． 【考点】GI：三角函数的化简求值．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题；
35 ：转化思想；
4O：定义法；
56 ：三角函数的求值． 【分析】推导出α+β=π+2kπ，k∈Z，从而sinβ=sin（π+2kπ﹣α）=sinα，由此能求出结果． 【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称， ∴α+β=π+2kπ，k∈Z， ∵sinα=， ∴sinβ=sin（π+2kπ﹣α）=sinα=． 故答案为：． 【点评】本题考查角的正弦值的求法，考查对称角、诱导公式，正弦函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是基础题． 10．（5分）（2017•北京）若双曲线x2﹣=1的离心率为，则实数m=2． 【考点】KC：双曲线的简单性质．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题；
35 ：转化思想；
5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可． 【解答】解：双曲线x2﹣=1（m＞0）的离心率为， 可得：， 解得m=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力． 11．（5分）（2017•北京）已知x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2的取值范围是[，1]． 【考点】3W：二次函数的性质．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题；
35 ：转化思想；
49 ：综合法；
51 ：函数的性质及应用． 【分析】利用已知条件转化所求表达式，通过二次函数的性质求解即可． 【解答】解：x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2=x2+（1﹣x）2=2x2﹣2x+1，x∈[0，1]， 则令f（x）=2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，函数的对称轴为：x=，开口向上， 所以函数的最小值为：f（）==． 最大值为：f（1）=2﹣2+1=1． 则x2+y2的取值范围是：[，1]． 故答案为：[，1]． 【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力． 12．（5分）（2017•北京）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则•的最大值为6． 【考点】9R：平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 【专题】35 ：转化思想；
56 ：三角函数的求值；
5A ：平面向量及应用；
5B ：直线与圆． 【分析】设P（cosα，sinα）．可得=（2，0），=（cosα+2，sinα）．利用数量积运算性质、三角函数的单调性与值域即可得出． 【解答】解：设P（cosα，sinα）.=（2，0），=（cosα+2，sinα）． 则•=2（cosα+2）≤6，当且仅当cosα=1时取等号． 故答案为：6． 【点评】本题考查了数量积运算性质、三角函数的单调性与值域、圆的参数方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13．（5分）（2017•北京）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为﹣1，﹣2，﹣3． 【考点】FC：反证法．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题；
35 ：转化思想；
4O：定义法；
5L ：简易逻辑． 【分析】设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，举例即可，本题答案不唯一 【解答】解：设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题， 则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题， 可设a，b，c的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一）， 故答案为：﹣1，﹣2，﹣3 【点评】本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题． 14．（5分）（2017•北京）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
（i）男学生人数多于女学生人数；
（ii）女学生人数多于教师人数；
（iii）教师人数的两倍多于男学生人数． ①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为6． ②该小组人数的最小值为12． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题；
5L ：简易逻辑；
5M ：推理和证明． 【分析】①设男学生女学生分别为x，y人，若教师人数为4，则，进而可得答案；
②设男学生女学生分别为x，y人，教师人数为z，则，进而可得答案；
【解答】解：①设男学生女学生分别为x，y人， 若教师人数为4， 则，即4＜y＜x＜8， 即x的最大值为7，y的最大值为6， 即女学生人数的最大值为6． ②设男学生女学生分别为x，y人，教师人数为z， 则，即z＜y＜x＜2z 即z最小为3才能满足条件， 此时x最小为5，y最小为4， 即该小组人数的最小值为12， 故答案为：6，12 【点评】本题考查的知识点是推理和证明，简易逻辑，线性规划，难度中档． 三、解答题 15．（13分）（2017•北京）已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5． （Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1． 【考点】8E：数列的求和；
8M：等差数列与等比数列的综合．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题；
35 ：转化思想；
49 ：综合法；
54 ：等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，然后求{an}的通项公式；
（Ⅱ）利用已知条件求出公比，然后求解数列的和即可． 【解答】解：（Ⅰ）等差数列{an}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2， 所以{an}的通项公式：an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9， 等比数列{bn}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）． ∴q2=3， {b2n﹣1}是等比数列，公比为3，首项为1． b1+b3+b5+…+b2n﹣1==． 【点评】本题考查等差数列与等比数列的应用，数列求和以及通项公式的求解，考查计算能力． 16．（13分）（2017•北京）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx． （I）求f（x）的最小正周期；
（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣． 【考点】H1：三角函数的周期性及其求法；
GA：三角函数线；
GL：三角函数中的恒等变换应用．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题；
35 ：转化思想；
4O：定义法；
56 ：三角函数的求值；
57 ：三角函数的图像与性质． 【分析】（Ⅰ）根据两角差的余弦公式和两角和正弦公式即可求出f（x）sin（2x+），根据周期的定义即可求出， （Ⅱ）根据正弦函数的图象和性质即可证明． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx， =（co2x+sin2x）﹣sin2x， =cos2x+sin2x， =sin（2x+）， ∴T==π， ∴f（x）的最小正周期为π， （Ⅱ）∵x∈[﹣，]， ∴2x+∈[﹣，]， ∴﹣≤sin（2x+）≤1， ∴f（x）≥﹣ 【点评】本题考查了三角函数的化简以及周期的定义和正弦函数的图象和性质，属于基础题 17．（13分）（2017•北京）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；
（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例． 【考点】B8：频率分布直方图；
CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题；
27 ：图表型；
5I ：概率与统计． 【分析】（Ⅰ）根据频率=组距×高，可得分数小于70的概率为：1﹣（0.04+0.02）×10；
（Ⅱ）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50）内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；
（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．进而得到答案． 【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1﹣（0.04+0.02）×10=0.4 故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人， 故样本中分数小于40的频率为：0.05， 则分数在区间[40，50）内的频率为：1﹣（0.04+0.02+0.02+0.01）×10﹣0.05=0.05， 估计总体中分数在区间[40，50）内的人数为400×0.05=20人， （Ⅲ）样本中分数不小于70的频率为：0.6， 由于样本中分数不小于70的男女生人数相等． 故分数不小于70的男生的频率为：0.3， 由样本中有一半男生的分数不小于70， 故男生的频率为：0.6， 即女生的频率为：0.4， 即总体中男生和女生人数的比例约为：3：2． 【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，用样本估计总体，难度不大，属于基础题． 18．（14分）（2017•北京）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点． （1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积． 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；
LX：直线与平面垂直的性质；
LY：平面与平面垂直的判定．菁优网版权所有 【专题】35 ：转化思想；
49 ：综合法；
5F ：空间位置关系与距离． 【分析】（1）运用线面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABC，再由性质定理即可得证；
（2）要证平面BDE⊥平面PAC，可证BD⊥平面PAC，由（1）运用面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面ABC，再由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，运用面面垂直的性质定理，即可得证；
（3）由线面平行的性质定理可得PA∥DE，运用中位线定理，可得DE的长，以及DE⊥平面ABC，求得三角形BCD的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值． 【解答】解：（1）证明：由PA⊥AB，PA⊥BC， AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，且AB∩BC=B， 可得PA⊥平面ABC， 由BD⊂平面ABC， 可得PA⊥BD；
（2）证明：由AB=BC，D为线段AC的中点， 可得BD⊥AC， 由PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC， 可得平面PAC⊥平面ABC， 又平面ABC∩平面ABC=AC， BD⊂平面ABC，且BD⊥AC， 即有BD⊥平面PAC， BD⊂平面BDE， 可得平面BDE⊥平面PAC；
（3）PA∥平面BDE，PA⊂平面PAC， 且平面PAC∩平面BDE=DE， 可得PA∥DE， 又D为AC的中点， 可得E为PC的中点，且DE=PA=1， 由PA⊥平面ABC， 可得DE⊥平面ABC， 可得S△BDC=S△ABC=××2×2=1， 则三棱锥E﹣BCD的体积为DE•S△BDC=×1×1=． 【点评】本题考查空间的线线、线面和面面的位置关系的判断，主要是平行和垂直的关系，注意运用线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理和性质定理，面面垂直的判定定理和性质定理，同时考查三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题． 19．（14分）（2017•北京）已知椭圆C的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN的面积之比为4：5． 【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；
K3：椭圆的标准方程．菁优网版权所有 【专题】31 ：数形结合；
44 ：数形结合法；
5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）由题意设椭圆方程，由a=2，根据椭圆的离心率公式，即可求得c，则b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的方程；
（Ⅱ）由题意分别求得DE和BN的斜率及方程，联立即可求得E点坐标，根据三角形的相似关系，即可求得=，因此可得△BDE与△BDN的面积之比为4：5． 【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程：（a＞b＞0）， 则a=2，e==，则c=， b2=a2﹣c2=1， ∴椭圆C的方程；
（Ⅱ）证明：设D（x0，0），（﹣2＜x0＜2），M（x0，y0），N（x0，﹣y0），y0＞0， 由M，N在椭圆上，则，则x02=4﹣4y02， 则直线AM的斜率kAM==，直线DE的斜率kDE=﹣， 直线DE的方程：y=﹣（x﹣x0）， 直线BN的斜率kBN=，直线BN的方程y=（x﹣2）， ，解得：， 过E做EH⊥x轴，△BHE∽△BDN， 则丨EH丨=， 则=， ∴：△BDE与△BDN的面积之比为4：5． 【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，相似三角形的应用，考查数形结合思想，属于中档题． 20．（13分）（2017•北京）已知函数f（x）=excosx﹣x． （1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值． 【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；
6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】34 ：方程思想；
48 ：分析法；
53 ：导数的综合应用． 【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；
（2）求出f（x）的导数，再令g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，可得g（x）在区间[0，]的单调性，即可得到f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值． 【解答】解：（1）函数f（x）=excosx﹣x的导数为f′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1， 可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e0（cos0﹣sin0）﹣1=0， 切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1）， 曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；
（2）函数f（x）=excosx﹣x的导数为f′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1， 令g（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1， 则g（x）的导数为g′（x）=ex（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）=﹣2ex•sinx， 当x∈[0，]，可得g′（x）=﹣2ex•sinx≤0， 即有g（x）在[0，]递减，可得g（x）≤g（0）=0， 则f（x）在[0，]递减， 即有函数f（x）在区间[0，]上的最大值为f（0）=e0cos0﹣0=1；
最小值为f（）=ecos﹣=﹣． 【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导和运用二次求导是解题的关键，属于中档题． 参与本试卷答题和审题的老师有：豫汝王世崇；
沂蒙松；
qiss；
██；
zlzhan；
whgcn；
双曲线；
铭灏2016（排名不分先后）
菁优网 2017年8月1日 考点卡片 1．补集及其运算 【知识点的认识】 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）． 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作CUA，即CUA={x|x∈U，且x∉A}．其图形表示如图所示的Venn图．． 【解题方法点拨】 常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法． 【命题方向】 通常情况下以小题出现，高考中直接求解补集的选择题，有时出现在简易逻辑中，也可以与函数的定义域、值域，不等式的解集相结合命题，也可以在恒成立中出现． 2．必要条件、充分条件与充要条件的判断 【知识点的认识】 正确理解和判断充分条件、必要条件、充要条件和非充分非必要以及原命题、逆命题否命题、逆否命题的概念是本节的重点；
掌握逻辑推理能力和语言互译能力，对充要条件概念本质的把握是本节的难点． 1．充分条件：对于命题“若p则q”为真时，即如果p成立，那么q一定成立，记作“p⇒q”，称p为q的充分条件．意义是说条件p充分保证了结论q的成立，换句话说要使结论q成立，具备条件p就够了当然q成立还有其他充分条件．如p：x≥6，q：x＞2，p是q成立的充分条件，而r：x＞3，也是q成立的充分条件． 必要条件：如果q成立，那么p成立，即“q⇒p”，或者如果p不成立，那么q一定不成立，也就是“若非p则非q”，记作“￢p⇒￢q”，这是就说条件p是q的必要条件，意思是说条件p是q成立的必须具备的条件． 充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”． 2．从集合角度看概念：
如果条件p和结论q的结果分别可用集合P、Q 表示，那么 ①“p⇒q”，相当于“P⊆Q”．即：要使x∈Q成立，只要x∈P就足够了﹣﹣有它就行． ②“q⇒p”，相当于“P⊇Q”，即：为使x∈Q成立，必须要使x∈P﹣﹣缺它不行． ③“p⇔q”，相当于“P=Q”，即：互为充要的两个条件刻画的是同一事物． 3．当命题“若p则q”为真时，可表示为，则我们称p为q的充分条件，q是p的必要条件．这里由，得出p为q的充分条件是容易理解的．但为什么说q是p的必要条件呢？事实上，与“”等价的逆否命题是“”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件． 4．“充要条件”的含义，实际上与初中所学的“等价于”的含义完全相同．也就是说，如果命题p等价于命题q，那么我们说命题p成立的充要条件是命题q成立；
同时有命题q成立的充要条件是命题p成立． 【解题方法点拨】 1．借助于集合知识加以判断，若P⊆Q，则P是Q的充分条件，Q是的P的必要条件；
若P=Q，则P与Q互为充要条件． 2．等价法：“P⇒Q”⇔“￢Q⇒￢P”，即原命题和逆否命题是等价的；
原命题的逆命题和原命题的否命题是等价的． 3．对于充要条件的证明，一般有两种方法：其一，是用分类思想从充分性、必要性两种情况分别加以证明；
其二，是逐步找出其成立的充要条件用“⇔”连接． 【命题方向】 充要条件主要是研究命题的条件与结论之间的逻辑关系，它是中学数学最重要的数学概念之一，它是今后的高中乃至大学数学推理学习的基础．在每年的高考中，都会考查此类问题． 3．奇偶性与单调性的综合 【知识点的认识】 对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质 ①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）=﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）=f（x），其图象特点是关于y轴对称． 【解题方法点拨】 参照奇偶函数的性质那一考点，有：
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）=0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）=﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）=f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反 例题：如果f（x）=为奇函数，那么a=． 解：由题意可知，f（x）的定义域为R， 由奇函数的性质可知，f（x）==﹣f（﹣x）⇒a=1 【命题方向】奇偶性与单调性的综合． 不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多，一定要重视这一个知识点． 4．二次函数的性质 【知识点的认识】 其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移． 【解题方法点拨】 以y=ax2+bx+c为例：
①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；
对称轴x=﹣；
最值为：f（﹣）；
判别式△=b2﹣4ac，当△=0时，函数与x轴只有一个交点；
△＞0时，与x轴有两个交点；
当△＜0时无交点． ②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y=ax2+bx+c的两根，则有x1+x2=﹣，x1•x2=；
③二次函数其实也就是抛物线，所以x2=2py的焦点为（0，），准线方程为y=﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离． ④平移：当y=a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y=a（x﹣1+b）2+c；
例题：y=2x2+x﹣3 那么由2＞0，可知抛物线开口向上，对称轴为x=﹣，最小值为f（﹣）=﹣，；
△=1+24=25＞0，故方程2x2+x﹣3=0有两个根，其满足x1+x2=﹣；
x1•x2=﹣；
另外，方程可以写成（y+）=2（x+）2，当沿x轴向右，在向下平移时，就变成y=2x2；
【命题方向】 重点关注高中所学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．另外在解析几何当做要灵活运用韦达定理． 5．指数式与对数式的互化 【知识点归纳】 ab=N⇔logaN=b；
alogaN=N；
logaaN=N 指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
（1）af（x）=b⇔f（x）=logab；
logaf（x）=b⇔f（x）=ab（定义法）
（2）af（x）=ag（x）⇔f（x）=g（x）；
logaf（x）=logag（x）⇔f（x）=g（x）＞0（同底法）
（3）af（x）=bg（x）⇔f（x）logma=g（x）logmb；
（两边取对数法）
（4）logaf（x）=logbg（x）⇔logaf（x）=；
（换底法）
（5）Alogx+Blogax+C=0（A（ax）2+Bax+C=0）（设t=logax或t=ax）（换元法）
6．利用导数求闭区间上函数的最值 【知识点的知识】 一、利用导数求函数的极值 1、极大值 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数的一个极大值，记作y极大值=f（x0），是极大值点． 2、极小值 一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），是极小值点． 3、极大值与极小值统称为极值 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值．请注意以下几点：
（ⅰ）极值是一个局部概念 由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小． （ⅱ）函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个． （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f（x4）＞f（x1）． （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 4、判别f（x0）式极大值、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）=0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；
如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值． 5、求可导函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）=0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；
如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；
如果左右不改变符号，那么f（x）在这个根处无极值． 二、利用导数求函数的最大值与最小值 1、函数的最大值和最小值 观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）． 一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值． 说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）=在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；
函数的极值是比较极值点附近函数值得出的． （3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件． （4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了． 设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值． 【解题方法点拨】 在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）． （2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小． （3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值． （4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的， （5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点． 7．利用导数研究曲线上某点切线方程 【考点描述】 利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；
第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来． 【实例解析】 例：已知函数y=xlnx，求这个函数的图象在点x=1处的切线方程． 解：k=y＇|x=1=ln1+1=1 又当x=1时，y=0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0=1×（x﹣1）， 即y=x﹣1． 我们通过这个例题发现，第一步确定切点；
第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；
第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结． 8．简单线性规划 【概念】 线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值． 【例题解析】 例：若目标函数z=x+y中变量x，y满足约束条件． （1）试确定可行域的面积；
（2）求出该线性规划问题中所有的最优解． 解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC， 其中B（4，3），A（2，3），C（4，2）， 则可行域的面积S==． （2）由z=x+y，得y=﹣x+z，则平移直线y=﹣x+z， 则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y=﹣x+z得截距最小， 此时z最小为z=2+3=5， 当直线经过点B（4，3）时，直线y=﹣x+z得截距最大， 此时z最大为z=4+3=7， 故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）
这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；
最后通过目标函数的平移去找到它的最值． 【考点预测】 线性规划在实际中应用广泛，因此具有很高的实用价值，所以也成为了高考的一个热点．大家在备考的时候，需要学会准确的画出可行域，然后会平移目标曲线． 9．数列的求和 【知识点的知识】 就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn=na1+n（n﹣1）d或Sn= ②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列． （3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即=（）． （4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）． （5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可． 【典型例题分析】 典例1：已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前n项和为Sn． （Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn=（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn． 分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：． 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d， ∵a3=7，a5+a7=26， ∴，解得a1=3，d=2， ∴an=3+2（n﹣1）=2n+1；
Sn==n2+2n． （Ⅱ）由（Ⅰ）知an=2n+1， ∴bn====， ∴Tn===， 即数列{bn}的前n项和Tn=． 点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和． 【解题方法点拨】 数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考． 10．等差数列与等比数列的综合 【知识点的知识】 1、等差数列的性质 （1）若公差d＞0，则为递增等差数列；
若公差d＜0，则为递减等差数列；
若公差d=0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am=an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有 as+at=2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数． （6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d． （7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1=an+an+2， 2an=an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）． 2、等比数列的性质． （1）通项公式的推广：an=am•qn﹣m，（n，m∈N*）． （2）若{an}为等比数列，且k+l=m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak•al=am•an （3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列． （4）单调性：或⇔{an}是递增数列；
或⇔{an}是递减数列；
q=1⇔{an}是常数列；
q＜0⇔{an}是摆动数列． 11．平面向量数量积的运算 【平面向量数量积的运算】 平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2=2±2•+2．②（﹣）（+）=2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样． 【例题解析】 例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn=nm”类比得到“” ②“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（）•=”；
③“t≠0，mt=nt⇒m=n”类比得到“⇒”；
④“|m•n|=|m|•|n|”类比得到“||=||•||”；
⑤“（m•n）t=m（n•t）”类比得到“（）•=”；
⑥“”类比得到． 以上的式子中，类比得到的结论正确的是①②． 解：∵向量的数量积满足交换律， ∴“mn=nm”类比得到“”， 即①正确；
∵向量的数量积满足分配律， ∴“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（）•=”， 即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律， ∴“t≠0，mt=nt⇒m=n”不能类比得到“⇒”， 即③错误；
∵||≠||•||， ∴“|m•n|=|m|•|n|”不能类比得到“||=||•||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律， ∴“（m•n）t=m（n•t）”不能类比得到“（）•=”， 即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律， ∴”不能类比得到， 即⑥错误． 故答案为：①②． 向量的数量积满足交换律，由“mn=nm”类比得到“”；
向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（）•=”；
向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt=nt⇒m=n”不能类比得到“⇒”；
||≠||•||，故“|m•n|=|m|•|n|”不能类比得到“||=||•||”；
向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t=m（n•t）”不能类比得到“（）•=”；
向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到． 【考点分析】 本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握． 12．虚数单位i及其性质 【虚数单位i的概念】 i是数学中的虚数单位，i2=﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a=0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b=0叫做实数．复数的模为． 【复数的运算】 ①复数的加法，若M=a+bi，N=c+di，那么M+N=（a+c）+（b+d）i，即实部与实部相加，虚部与虚部相加． ②复数的乘法，若M=a+bi，N=c+di，那么M•N=（ac﹣bd）+（ad+bc）i，与多项式乘法类似，只不过要加上i． 【例题解析】 例：定义运算，则符合条件的复数z为． 解：根据定义，可知1×zi﹣（﹣1）×z=4+2i，即z（1+i）=4+2i，∴z===3﹣i． 这个题很好地反应了复数的一般考法，也就是考查复数的运算能力，其中常常用到复数与复数相除．这个题的第一步先把复数当做一个整体进行运算，第二部相除，思路就是把分母变成实数，方法就是乘以它的共轭复数（虚数前面的符号变为相反既是）．处理这种方法外，有的时候还需要设出复数的形式为a+bi，然后在求出a和b，这种类型的题一般用待定系数法． 【考点分析】 复数考查的比较基础，需要掌握的主要是一要会运算，特别是如何把复数的分母变成实数；
二要学会待定系数法；
三是会求模． 13．频率分布直方图 【知识点的认识】 1．频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中的各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图． 2．频率分布直方图的特征 ①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1． ②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势． ③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉． 3．频率分布直方图求数据 ①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标． ②平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和． ③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标． 【解题方法点拨】 绘制频率分布直方图的步骤：
14．古典概型及其概率计算公式 【考点归纳】 1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的． 则称这种随机试验的概率模型为古典概型． *古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可． 2．古典概率的计算公式 如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）==． 【解题技巧】 1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数． 因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么． 2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）=求出事件A的概率． 3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率 （2）利用分析法求解古典概型． 15．程序框图 【知识点的知识】 1．程序框图 （1）程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形；
（2）构成程序框的图形符号及其作用 程序框 名称 功能 起止框 表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不可缺少的． 输入、输出框 表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置． 处理框 赋值、计算．算法中处理数据需要的算式、公式等，它们分别写在不同的用以处理数据的处理框内． 判断框 判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；
不成立时在出口处标明则标明“否”或“N”． 流程线 算法进行的前进方向以及先后顺序 连结点 连接另一页或另一部分的框图 注释框 帮助编者或阅读者理解框图 （3）程序框图的构成． 一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；
带箭头的流程线；
程序框内必要的说明文字． 16．反证法 【知识点的认识】 反证法：假设结论的反面成立，在已知条件和“否定结论”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与公理、定理、题设、临时假设相矛盾的结论或自相矛盾，从而断定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定正确，这种证明方法就叫反证法． 【解题思路点拨】 用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的方法，其次注意反证法是在条件较少，不易入手时常用的方法，尤其有否定词或含“至多”“至少”等词的问题中常用．使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等． 1．证明思路：肯定条件，否定结论→推出矛盾→推翻假设，肯定结论 2．反证法的一般步骤：
（1）分清命题的条件和结论；
（2）作出与命题结论相矛盾的假设；
（3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；
（4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真． 17．三角函数线 【知识点的认识】 几何表示 三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）． 如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线． 【命题方向】 若，则（）
A．sinα＞cosα＞tanα B．cosα＞tanα＞sinα C．sinα＞tanα＞cosα D．tanα＞sinα＞cosα 【分析】根据题意在坐标系画出单位圆，并且作出角α得正弦线、余弦线和正切线，再由α的范围比较出三角函数线的大小． 解：由三角函数线的定义作出下图：OP是角α的终边，圆O是单位圆， 则AT=tanα＞1，OM=cosα，MP=sinα， ∵， ∴OM＜MP＜1，即tanα＞sinα＞cosα， 故选D． 【点评】本题考查了利用角的三角函数线比较三角函数值大小，关键是正确作图，利用角的范围比较出三角函数线的大小． 18．三角函数的化简求值 【知识点的知识】 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 （1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式． （2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等． 19．三角函数中的恒等变换应用 【知识点的认识】 1．同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：sin2α+cos2α=1． （2）商数关系：=tanα． 2．诱导公式 公式一：sin（α+2kπ）=sin α，cos（α+2kπ）=cosα，tan（α+2kπ）=tanα，其中k∈Z． 公式二：sin（π+α）=﹣sinα，cos（π+α）=﹣cosα，tan（π+α）=tan α． 公式三：sin（﹣α）=﹣sinα，cos（﹣α）=cosα，tan（﹣α）=﹣tanα． 公式四：sin（π﹣α）=sin α，cos（π﹣α）=﹣cosα，tan（π﹣α）=﹣tanα． 公式五：sin（﹣α）=cosα，cos（﹣α）=sin α，tan（﹣α）=cotα． 公式六：sin（+α）=cosα，cos（+α）=﹣sinα，tan（+α）=﹣cotα． 3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）=． （6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=． 4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）S2α：sin 2α=2sinαcosα；
（2）C2α：cos 2α=cos2α﹣sin2α=2cos2α﹣1=1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α=． 20．三角函数的周期性及其求法 【知识点的认识】 周期性 ①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． ②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期． ③函数y=Asin（ωx+φ），x∈R及函数y=Acos（ωx+φ）；
x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T=． 【解题方法点拨】 1．一点提醒 求函数y=Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y=sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误． 2．两类点 y=sin x，x∈[0，2π]，y=cos x，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）． 3．求周期的三种方法 ①利用周期函数的定义．f（x+T）=f（x）
②利用公式：y=Asin（ωx+φ）和y=Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y=tan（ωx+φ）的最小正周期为． ③利用图象．图象重复的x的长度． 21．椭圆的标准方程 【知识点的认识】 椭圆标准方程的两种形式：
（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|=2c；
（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|=2c． 两种形式相同点：形状、大小相同；
都有a＞b＞0；
a2=b2+c2 两种形式不同点：位置不同；
焦点坐标不同． 标准方程 （a＞b＞0）
中心在原点，焦点在x轴上 （a＞b＞0）
中心在原点，焦点在y轴上 图形 顶点 A（a，0），A′（﹣a，0）
B（0，b），B′（0，﹣b）
A（b，0），A′（﹣b，0）
B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|=2c（c＞0）
c2=a2﹣b2 |F1F2|=2c（c＞0）
c2=a2﹣b2 离心率 e=（0＜e＜1）
e=（0＜e＜1）
准线 x=± y=± 22．双曲线的简单性质 【知识点的知识】 双曲线的标准方程及几何性质 标准方程 （a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形 性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|=2c a2+b2=c2 范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R 对称 关于x轴，y轴和原点对称 顶点 （﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b 离心率 e=（e＞1）
准线 x=± y=± 渐近线 ±=0 ±=0 23．直线与椭圆的位置关系 v． 24．由三视图求面积、体积 【知识点的认识】 1．三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形，包括：
（1）主视图：物体前后方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和长度；
（2）左视图：物体左右方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和宽度；
（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，反映物体的长度和宽度． 2．三视图的画图规则：
（1）高平齐：主视图和左视图的高保持平齐；
（2）长对正：主视图和俯视图的长相对应；
（3）宽相等：俯视图和左视图的宽度相等． 3．常见空间几何体表面积、体积公式 （1）表面积公式：
（2）体积公式：
【解题思路点拨】 1．解题步骤：
（1）由三视图定对应几何体形状（柱、锥、球）
（2）选对应公式 （3）定公式中的基本量（一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高）
（4）代公式计算 2．求面积、体积常用思想方法：
（1）截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常用轴截面进行分析求解；
（2）割补法：求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法；
（3）等体积转化：充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点，灵活求解三棱锥的体积；
（4）还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法． 【命题方向】三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容．解答此类问题，必须熟练掌握三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正视图、俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之间高相等（正俯长对正，正左高平齐，左俯宽相等），要善于将三视图还原成空间几何体，熟记各类几何体的表面积和体积公式，正确选用，准确计算． 例：某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A.8﹣2π B.8﹣π C.8﹣ D.8﹣ 分析：几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算． 解答：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱， 正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2， ∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π． 故选：B． 点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键． 25．棱柱、棱锥、棱台的体积 【知识点的知识】 柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱=sh，V锥=Sh． 26．直线与平面垂直的性质 【知识点的认识】 直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b ②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b． 27．平面与平面垂直的判定 【知识点的认识】 平面与平面垂直的判定：
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．